函数是高等数学的主要研究对象，极限概念是高等数学的基本概念之一，是微积分的理论基础，因此，掌握好极限方法是学好微积分的关键。1821年，柯西在他的《分析教程》中对无限小(即这里所说的无穷小)的概念给出了明确的回答。关于无穷小量的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的。本文主要阐述了在自变量的变化过程中，无穷小量在函数极限中的应用。

例1 求

解 在某一极限过程中，若α(x)是无穷小量，f(x)是有界变量，则α(x)f(x)仍是无穷小量。我们只证x→时的情形，其他情形证法类似。

设f(x)为x→时的有界量，则?M>0，当|x|>X1>0时，|f(x)|0，对来说，?X2>0，当|x|>X2时，取X=max{X1，X2}，则当|x|>X时，有

这就证明了当x→时，α(x)f(x)是无穷小量。

我们知道，若limα(x)=0，则α(x)为该极限过程中的一个无穷小量。而所以x→时，是无穷小量。且?x∈(-，+)，|sinx|≤1，因此，x→时，是无穷小量。所以

例2 求

解 我们知道，若limα(x)=0，则α(x)为该极限过程中的一个无穷小量。而所以x→时，是无穷小量。且?x∈(-，+)，|arctanx|因此，x→时，是无穷小量。所以

例3 求

解 我们知道，若limα(x)=0，则α(x)为该极限过程中的一个无穷小量。而所以x→时，是无穷小量。且?x∈(-，+)，|cosx|≤1，因此，x→时，是无穷小量。所以

例4 求

解 我们知道，若limα(x)=0，则α(x)为该极限过程中的一个无穷小量。而所以x→0时，x2是无穷小量。且?x∈(-，+)且因此，x→0时，是无穷小量。所以

例

解 我们知道，limf(x)=A的充要条件是limf(x)=A+α(x)，其中α(x)为该极限过程中的无穷小量。

且即x→1时，是一个无穷小量。

因此

例

解 我们知道，limf(x)=A的充要条件是limf(x)=A+α(x)，其中α(x)为该极限过程中的无穷小量。

且即x→时，是一个无穷小量。

因此

[1] 同济大学数学教研室主编.高等数学(上册)[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] 黄立宏主编.高等数学(上册)[M].上海：复旦大学出版社，2010.

函数是高等数学的主要研究对象，极限概念是高等数学的基本概念之一，是微积分的理论基础，因此，掌握好极限方法是学好微积分的关键。1821年，柯西在他的《分析教程》中对无限小(即这里所说的无穷小)的概念给出了明确的回答。关于无穷小量的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的。本文主要阐述了在自变量的变化过程中，无穷小量在函数极限中的应用。例1 求解 在某一极限过程中，若α(x)是无穷小量，f(x)是有界变量，则α(x)f(x)仍是无穷小量。我们只证x→时的情形，其他情形证法类似。设f(x)为x→时的有界量，则?M>0，当|x|>X1>0时，|f(x)|<M，又因为则?ε>0，对来说，?X2>0，当|x|>X2时，取X=max{X1，X2}，则当|x|>X时，有这就证明了当x→时，α(x)f(x)是无穷小量。我们知道，若limα(x)=0，则α(x)为该极限过程中的一个无穷小量。而所以x→时，是无穷小量。且?x∈(-，+)，|sinx|≤1，因此，x→时，是无穷小量。所以例2 求解 我们知道，若limα(x)=0，则α(x)为该极限过程中的一个无穷小量。而所以x→时，是无穷小量。且?x∈(-，+)，|arctanx|因此，x→时，是无穷小量。所以例3 求解 我们知道，若limα(x)=0，则α(x)为该极限过程中的一个无穷小量。而所以x→时，是无穷小量。且?x∈(-，+)，|cosx|≤1，因此，x→时，是无穷小量。所以例4 求解 我们知道，若limα(x)=0，则α(x)为该极限过程中的一个无穷小量。而所以x→0时，x2是无穷小量。且?x∈(-，+)且因此，x→0时，是无穷小量。所以例解 我们知道，limf(x)=A的充要条件是limf(x)=A+α(x)，其中α(x)为该极限过程中的无穷小量。且即x→1时，是一个无穷小量。因此例解 我们知道，limf(x)=A的充要条件是limf(x)=A+α(x)，其中α(x)为该极限过程中的无穷小量。且即x→时，是一个无穷小量。因此参考文献[1] 同济大学数学教研室主编.高等数学(上册)[M].北京：高等教育出版社，2002.[2] 黄立宏主编.高等数学(上册)[M].上海：复旦大学出版社，2010.

文章来源：《应用数学》 网址: http://www.yysxzzs.cn/qikandaodu/2021/0216/374.html